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对'常微分方程解的存在唯一性定理'的教学思考pdf

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彀学研究

对‘‘常微分方程筹的纛在唯一牲定理" 的教学思考 口王长有 作者简介:王长有,9 8男,士生, 16一,博副教授,西东乡人。主要从事“分方程”学与研究工作。江微教 摘要:出了一种证明“微分方程解的存在唯一性定理”简易方法,方法也适用于偏微分方程及其它类型的微分方程给常的该存在唯一性 B nc aah压缩定理

研究,结合多年的教学与科研经验对“微分方程解的存在唯一性定理”并常的课堂教学进行分析与探讨。 关键词:常微分方程 引言

常微分方程是随着微积分的产生而出现的。它和天文学、

() lI 0 ( x E,lI 0 1l I X/ V E ) I I酬;2 I+ l lI 1 > X= () I yl Xl l X≤I+ y l( x E ) ()l l II ( a,∈E . l V, E;3 l≤l I V∈K X )的非 y越I a I l X 负值函数 I- I—R l l: E为线性空间 E上的范数。定义了范数的

力学、物理学、生态学等许多学科有着广泛的联系,在数学领域 里,和其它一些分支学科相互渗透,系密切,理工科院校它关为数学专业重要的基础课程,是优化控制理论中的一种重要数它

线性空间称为赋范线性空间,通常记为 (, I f) E f I . 定义 2设(J是赋范空间 ( l 1 . x E,】 l)中的点列,果,l如 l 一(l一 0(, ) l m n m— )则称此点列为基本点列或柯西列。,如果赋范空间 (, f})中的任意柯西列都是收敛列,么就 E f I那称该空间是完备的赋范空间或 B nc间。 aah空

学模型,它为许多实际问题的解决提供了重要的工具和手段。 然而,教学实践中,们了解到一些学生对常微分方程课程在我的学习偏重方程解法,忽略基本理论。成这种状况的原因是多造

方面的,了基本理论自身内容比较抽象,除课时不足等客观因素外,与教师课堂的教材处理与授课方法不能说没关系。需要指出的是,常微分方程基本理论是本学科的精华所在,基本理论的教 学,目的是让学生去体会常微分方程的思想方法,略数学思想领的魅力。为教师,课堂教学中注意启发学生思维,养学生 作

在培

定义 3 .假设 u是 B nc aah空间 E的子集。算子 Tu—E: _ 若存在∈『,】使得:I x T l≤ I— 1 VX y 0 1, IT— y I J yI,, EU, x 则称算子 T为压缩算子。 引理 1 ( aah压缩映像原理 ) . B nc 1

假设 D是 B nc间 E的非空间闭子集,: aah空 TD—D是压缩算子,存在唯一的 X∈D,得 T . x, T在 D内存则‘使 x_即在唯一的不动点 X。’ 二、在唯一性定理的简易证法存

的创新能力,不能照本宣科。尤其是随着一些新的数学理论的 诞生,有的教材中的一些方法未必是最佳方法,师也应该现教更新观念,在充分理解教材的基础上,断创新教学方法,难不使

懂枯燥的数学定理证明变得简单有趣。基于这种思想,本人根据多年从事微分方程教学和科研工作的经验,给出了一种证 明常微分方程解的存在唯一性定理的简易方法,对“微分并常方程解的存在唯一性定理”的课堂教学进行了分析和探讨。 一

我们考虑如下一阶常微分方程: x=(x,,∈GCRx= f,)t ) t (x RnR, ( .) 21若给定一点,∈G ,则微分方程理论的基本问题之一是:函数 (,在含 t的区间 I是可微的,满足: ()求 t它 )。上并 1 (=( ( ) t】; 2 ( EGt; 3 (酏 (,。这一问题 O。 t, ) ) EI () t )= tt ) EI )称为方程 (.)初值问题,为 C u h 31的也称 acy问题,记为:并 【

预备知识

为了证明本文的主要结果,我们先介绍一些最本概念和引理。 定义 1 E是数域 K上的线性空间,们称满足下列条件: .设我

f,,,) (x (∈G, )t x

( 2 .

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L(—— L L的口语表现。,,、 3~二 . 屯 奎扣 0、

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王芒^,来圭世℃ L。只有小王来了。,L , 这里介绍的只是一部分内容。但这些内容在教学过程中的实施,大地激发了学生的学习热情,且取得了良好的教极而学成果。报名参加日语国际水平考试的学生均通过了考试,凡 这足以证明臼语是可以学而乐,乐而学的。 (者单位:作华北电力大学 J

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